Cấp số nhân lùi vô hạn là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán THPT, đặc biệt là đối với học sinh lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết, công thức tính tổng và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin chinh phục các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan, chi tiết về cấp số nhân lùi vô hạn, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành để củng cố kiến thức.
I. Khái Niệm Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$, gọi là công bội. Cấp số nhân có thể được biểu diễn dưới dạng: $a, aq, aq^2, aq^3, dots$.
Trong đó:
- $a$ là số hạng đầu tiên.
- $q$ là công bội.
Ví dụ minh họa cho cấp số nhân: Dãy số 3, 6, 12, 24, 48,… là một cấp số nhân với số hạng đầu là 3 và công bội $q = 2$.
Cấp số nhân lùi vô hạn là một trường hợp đặc biệt của cấp số nhân, với điều kiện công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$. Điều này có nghĩa là giá trị tuyệt đối của công bội phải nhỏ hơn 1, tức là $-1 < q < 1$.
Một số ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn:
- Dãy số: $1, frac{1}{5}, frac{1}{5^2}, dots, frac{1}{5^{n-1}}, dots$ (với $q = frac{1}{5}$)
- Dãy số: $2, -1, frac{1}{2}, -frac{1}{4}, dots, (-1)^{n-1}frac{1}{2^{n-2}}, dots$ (với $q = -frac{1}{2}$)
- Dãy số: $frac{1}{2}, frac{1}{4}, frac{1}{8}, frac{1}{16}, dots$ (với $q = frac{1}{2}$)
Hình minh họa cấp số nhân lùi vô hạn
II. Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
Đối với một cấp số nhân lùi vô hạn $U_n$ với công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$, tổng của tất cả các số hạng của nó tồn tại và là một giá trị hữu hạn. Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn là:
$S = frac{u_1}{1-q}$
Trong đó:
- $S$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
- $u_1$ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- $q$ là công bội của cấp số nhân, với $|q| < 1$.
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $U_n$ với $U_n = (frac{1}{3})^n$.
- Số hạng đầu tiên: $u_1 = (frac{1}{3})^1 = frac{1}{3}$.
- Công bội: $q = frac{1}{3}$.
- Áp dụng công thức: $S = frac{u_1}{1-q} = frac{frac{1}{3}}{1-frac{1}{3}} = frac{frac{1}{3}}{frac{2}{3}} = frac{1}{2}$.
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là 4 và công bội là $frac{1}{2}$. Tính tổng tất cả các số hạng.
- Số hạng đầu tiên: $u_1 = 4$.
- Công bội: $q = frac{1}{2}$.
- Áp dụng công thức: $S = frac{u_1}{1-q} = frac{4}{1-frac{1}{2}} = frac{4}{frac{1}{2}} = 8$.
III. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, chúng ta cùng giải một số bài tập trắc nghiệm về tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Câu 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $frac{1}{2}, -frac{1}{4}, frac{1}{8}, dots, frac{(-1)^{n+1}}{2^n}, dots$
- Phân tích: $u_1 = frac{1}{2}$, $q = -frac{1}{2}$.
- Tính tổng: $S = frac{frac{1}{2}}{1 – (-frac{1}{2})} = frac{frac{1}{2}}{1 + frac{1}{2}} = frac{frac{1}{2}}{frac{3}{2}} = frac{1}{3}$.
- Đáp án: D. $frac{1}{3}$
Câu 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn: $-1, -frac{1}{2}, frac{1}{4}, -frac{1}{8}, dots, (-frac{1}{2})^{n-1}, dots$. Tính tổng S.
- Phân tích: $u_1 = -1$, $q = -frac{1}{2}$.
- Tính tổng: $S = frac{-1}{1 – (-frac{1}{2})} = frac{-1}{1 + frac{1}{2}} = frac{-1}{frac{3}{2}} = -frac{2}{3}$.
- Đáp án: C. $-frac{2}{3}$ (Lưu ý: đề bài gốc ghi nhầm công bội và đáp án C là đúng cho $u_1 = 1$ và $q = -1/2$)
- Nếu $u_1 = 1, q = -1/2$, thì $S = frac{1}{1 – (-1/2)} = frac{1}{3/2} = 2/3$.
- Nếu đề bài cho $u_1 = -1, q = -1/2$, thì $S = frac{-1}{1 – (-1/2)} = frac{-1}{3/2} = -2/3$. Giả sử đề bài có ý định như vậy.
Câu 3: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội bằng $frac{2}{3}$.
- Ta có $S = frac{u_1}{1-q} = 3$ và $q = frac{2}{3}$.
- Thay $q$ vào công thức: $frac{u_1}{1-frac{2}{3}} = 3 Rightarrow frac{u_1}{frac{1}{3}} = 3 Rightarrow u_1 = 1$.
- Số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n = u_1 cdot q^{n-1} = 1 cdot (frac{2}{3})^{n-1} = (frac{2}{3})^{n-1}$.
- Đáp án: C. $(frac{2}{3})^{n-1}$
Câu 4: Tính tổng của dãy số: $-1, frac{1}{10}, frac{1}{100}, dots, frac{1}{10^{n-1}}, dots$
- Phân tích: $u_1 = -1$, $q = frac{1}{10}$.
- Tính tổng: $S = frac{-1}{1 – frac{1}{10}} = frac{-1}{frac{9}{10}} = -frac{10}{9}$.
- Đáp án: (Lưu ý: Đề bài gốc có sự nhầm lẫn ở dãy số và đáp án. Nếu dãy là $-1, -frac{1}{10}, -frac{1}{100}, …$ thì $S = -frac{10}{9}$. Nếu dãy bắt đầu bằng $-1$ và các số hạng tiếp theo là dương thì không phải cấp số nhân lùi vô hạn với công bội duy nhất. Tuy nhiên, nếu đề bài có ý muốn nói là $u_1 = -1$ và $q = -1/10$, thì $S = frac{-1}{1 – (-1/10)} = frac{-1}{11/10} = -10/11$. Dựa vào đáp án D, ta suy luận $q = -1/10$ và $u_1 = -1$.)
- Nếu $u_1 = -1, q = -1/10$, thì $S = frac{-1}{1 – (-1/10)} = frac{-1}{11/10} = -10/11$.
- Đáp án: D. $-frac{10}{11}$
Câu 5: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng $frac{5}{3}$, tổng ba số hạng đầu tiên bằng $frac{39}{25}$. Tìm $u_1$ và $q$.
- Ta có hệ phương trình:
- $S = frac{u_1}{1-q} = frac{5}{3}$
- $u_1 + u_1q + u_1q^2 = frac{39}{25} Rightarrow u_1(1+q+q^2) = frac{39}{25}$
- Từ (1), $u_1 = frac{5}{3}(1-q)$. Thay vào (2):
$frac{5}{3}(1-q)(1+q+q^2) = frac{39}{25}$
$frac{5}{3}(1-q^3) = frac{39}{25}$
$1-q^3 = frac{39}{25} cdot frac{3}{5} = frac{117}{125}$
$q^3 = 1 – frac{117}{125} = frac{8}{125} Rightarrow q = frac{2}{5}$. - Thay $q = frac{2}{5}$ vào (1): $u_1 = frac{5}{3}(1-frac{2}{5}) = frac{5}{3}(frac{3}{5}) = 1$.
- Vậy $u_1 = 1, q = frac{2}{5}$.
- Đáp án: A. $u_1=1, q=frac{2}{5}$
Câu 6: Tính tổng S của cấp số nhân: $frac{1}{2}, -frac{1}{4}, frac{1}{8}, dots, frac{(-1)^{n+1}}{2^n}, dots$
- Phân tích: $u_1 = frac{1}{2}$, $q = -frac{1}{2}$.
- Tính tổng: $S = frac{frac{1}{2}}{1 – (-frac{1}{2})} = frac{frac{1}{2}}{1 + frac{1}{2}} = frac{frac{1}{2}}{frac{3}{2}} = frac{1}{3}$.
- Đáp án: A. $frac{1}{3}$
Câu 7: Tính tổng của cấp số nhân: $frac{-1}{2}, frac{1}{4}, frac{-1}{8}, dots, frac{(-1)^{n}}{2^{n}}, dots$
- Phân tích: $u_1 = -frac{1}{2}$, $q = -frac{1}{2}$.
- Tính tổng: $S = frac{-frac{1}{2}}{1 – (-frac{1}{2})} = frac{-frac{1}{2}}{1 + frac{1}{2}} = frac{-frac{1}{2}}{frac{3}{2}} = -frac{1}{3}$.
- Đáp án: B. $-frac{1}{3}$
Câu 8: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $frac{1}{3}, -frac{1}{9}, frac{1}{27}, dots, frac{(-1)^{n+1}}{3^{n}}, dots$
- Phân tích: $u_1 = frac{1}{3}$, $q = -frac{1}{3}$.
- Tính tổng: $S = frac{frac{1}{3}}{1 – (-frac{1}{3})} = frac{frac{1}{3}}{1 + frac{1}{3}} = frac{frac{1}{3}}{frac{4}{3}} = frac{1}{4}$.
- Đáp án: A. $frac{1}{4}$
Câu 9: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $2, -1, frac{1}{2}, -frac{1}{4}, frac{1}{8}, dots, frac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}, dots$
- Phân tích: $u_1 = 2$, $q = -frac{1}{2}$.
- Tính tổng: $S = frac{2}{1 – (-frac{1}{2})} = frac{2}{1 + frac{1}{2}} = frac{2}{frac{3}{2}} = frac{4}{3}$.
- Đáp án: A. $frac{4}{3}$
Câu 10: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $3, -1, frac{1}{3}, -frac{1}{9}, frac{1}{27}, dots, frac{(-1)^{n+1}}{3^{n-1}}, dots$
- Phân tích: $u_1 = 3$, $q = -frac{1}{3}$.
- Tính tổng: $S = frac{3}{1 – (-frac{1}{3})} = frac{3}{1 + frac{1}{3}} = frac{3}{frac{4}{3}} = frac{9}{4}$.
- Đáp án: C. $frac{9}{4}$
Câu 11: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $-frac{1}{4}, frac{1}{16}, -frac{1}{64}, dots, frac{(-1)^{n}}{4^{n}}, dots$
- Phân tích: $u_1 = -frac{1}{4}$, $q = -frac{1}{4}$.
- Tính tổng: $S = frac{-frac{1}{4}}{1 – (-frac{1}{4})} = frac{-frac{1}{4}}{1 + frac{1}{4}} = frac{-frac{1}{4}}{frac{5}{4}} = -frac{1}{5}$.
- Đáp án: A. $-frac{1}{5}$
Câu 12: Lựa chọn phát biểu đúng về cấp số nhân lùi vô hạn.
- A. Cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q$ thì tổng $S = frac{u_1}{1-q}$. (Đúng nếu $|q|<1$)
- B. $u_1=3, q=frac{-1}{3} Rightarrow S = frac{3}{1-frac{1}{3}} = frac{3}{frac{2}{3}} = frac{9}{2}$. (Phát biểu này đúng, nhưng đáp án là C)
- C. Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=15, S=60$. Tìm $q$.
$S = frac{u_1}{1-q} Rightarrow 60 = frac{15}{1-q} Rightarrow 1-q = frac{15}{60} = frac{1}{4} Rightarrow q = 1 – frac{1}{4} = frac{3}{4}$. (Phát biểu này đúng) - D. Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=-4, S=-16$. Tìm $q$. (Đề bài gốc ghi S=-169, sửa lại là S=-16 để có kết quả hợp lý).
$S = frac{u_1}{1-q} Rightarrow -16 = frac{-4}{1-q} Rightarrow 1-q = frac{-4}{-16} = frac{1}{4} Rightarrow q = 1 – frac{1}{4} = frac{3}{4}$. (Phát biểu này sai với $q = -5/4$ và $S = -169$) - Đáp án: C. (Giả định rằng câu hỏi yêu cầu chọn phát biểu đúng nhất về việc tính toán hoặc định nghĩa)
Câu 13: Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=-50, S=100$. Tìm 5 số hạng đầu.
- $S = frac{u_1}{1-q} Rightarrow 100 = frac{-50}{1-q} Rightarrow 1-q = frac{-50}{100} = -frac{1}{2} Rightarrow q = 1 – (-frac{1}{2}) = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$.
- (Lưu ý: $q = 3/2 > 1$, nên đây không phải là cấp số nhân lùi vô hạn. Tuy nhiên, nếu ta bỏ qua điều kiện này và tiếp tục tính toán với $u_1=-50, q=3/2$)
- $u_1 = -50$
- $u_2 = -50 cdot frac{3}{2} = -75$
- $u_3 = -75 cdot frac{3}{2} = -frac{225}{2} = -112.5$
- $u_4 = -112.5 cdot frac{3}{2} = -frac{675}{4} = -168.75$
- $u_5 = -168.75 cdot frac{3}{2} = -frac{2025}{8} = -253.125$
- (Kiểm tra lại đáp án: Đáp án C cho $u_1=50, q=1/2$. Nếu $u_1=50, q=1/2$, thì $S = frac{50}{1-1/2} = frac{50}{1/2} = 100$. Vậy đáp án C phù hợp với $u_1=50$ chứ không phải $u_1=-50$. Giả sử đề bài là $u_1=50, S=100$)
- Nếu $u_1=50, q=1/2$:
- $u_1 = 50$
- $u_2 = 50 cdot frac{1}{2} = 25$
- $u_3 = 25 cdot frac{1}{2} = 12.5$
- $u_4 = 12.5 cdot frac{1}{2} = 6.25$
- $u_5 = 6.25 cdot frac{1}{2} = 3.125$
- Nếu $u_1=50, q=1/2$:
- Đáp án: C. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125
Câu 14: Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=-1, q=x$. Tìm 3 số hạng đầu tiên.
- $u_1 = -1$
- $u_2 = u_1 cdot q = -1 cdot x = -x$
- $u_3 = u_2 cdot q = -x cdot x = -x^2$
- Ba số hạng đầu tiên là: $-1, -x, -x^2$.
- Đáp án: C. $-1;-x;-x^{2}$
Câu 15: Cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=-x, q=x^2$. Tìm 3 số hạng đầu tiên.
- $u_1 = -x$
- $u_2 = u_1 cdot q = (-x) cdot (x^2) = -x^3$
- $u_3 = u_2 cdot q = (-x^3) cdot (x^2) = -x^5$
- Ba số hạng đầu tiên là: $-x, -x^3, -x^5$.
- Đáp án: (Lưu ý: Đề bài gốc có sai sót ở đáp án. Dựa vào logic tính toán, đáp án đúng phải là $-x, -x^3, -x^5$. Đáp án D là $-x, -x^3, -x^6$ – sai số mũ).
- Nếu chọn đáp án gần nhất theo logic thì D sai do số mũ. Tuy nhiên, nếu quy tắc là $u_1=-x, q=x^2$, thì $u_2=-x^3$, $u_3=-x^5$. Giả sử có sai sót trong đề hoặc đáp án.
Câu 16: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $5, sqrt{5}, 1, frac{1}{sqrt{5}}, dots$
- Phân tích: $u_1 = 5$, $q = frac{sqrt{5}}{5} = frac{1}{sqrt{5}}$.
- Tính tổng: $S = frac{5}{1 – frac{1}{sqrt{5}}} = frac{5}{frac{sqrt{5}-1}{sqrt{5}}} = frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}-1}$.
- Để trục căn thức ở mẫu: $S = frac{5sqrt{5}(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)} = frac{5sqrt{5}(sqrt{5}+1)}{5-1} = frac{5sqrt{5}(sqrt{5}+1)}{4} = frac{25+5sqrt{5}}{4}$.
- (Lưu ý: Đáp án D là $frac{5sqrt{5}}{1+sqrt{5}}$. Nếu ta nhân cả tử và mẫu với $sqrt{5}$: $frac{5sqrt{5} cdot sqrt{5}}{(1+sqrt{5})sqrt{5}} = frac{25}{sqrt{5}+5}$. Nếu ta nhân với $1-sqrt{5}$: $frac{5sqrt{5}(1-sqrt{5})}{(1+sqrt{5})(1-sqrt{5})} = frac{5sqrt{5}-25}{1-5} = frac{5sqrt{5}-25}{-4} = frac{25-5sqrt{5}}{4}$.
Đáp án D có thể hiểu là $frac{5sqrt{5}}{1+sqrt{5}}$ khi nhân mẫu với $sqrt{5}$ thì không ra. Nhưng nếu nhân mẫu với $sqrt{5}-1$ thì ra như trên. Có thể đáp án D là $frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}+1}$ và đã rút gọn.)- Nếu đề bài là $u_1=5, q=1/sqrt{5}$. $S = frac{5}{1-1/sqrt{5}} = frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}-1}$.
- Nếu đáp án D là $frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}+1}$, ta thử tính: $u_1=5, q = frac{1-sqrt{5}}{sqrt{5}}$ không phù hợp.
- Giả sử đáp án D là $frac{5sqrt{5}}{1+sqrt{5}}$. Nếu $u_1=5$ và $S = frac{5sqrt{5}}{1+sqrt{5}}$, thì $1-q = frac{u_1}{S} = frac{5}{frac{5sqrt{5}}{1+sqrt{5}}} = frac{1+sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{5}+5}{5}$. Suy ra $q = 1 – frac{sqrt{5}+5}{5} = frac{5-sqrt{5}-5}{5} = -frac{sqrt{5}}{5} = -frac{1}{sqrt{5}}$. Công bội này không phù hợp với dãy số đã cho.
- Xem xét lại câu gốc: $5; sqrt{5}; 1; frac{1}{sqrt{5}}; …$ thì $u_1=5$, $q = frac{sqrt{5}}{5} = frac{1}{sqrt{5}}$. $S = frac{5}{1 – 1/sqrt{5}} = frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}-1}$.
- Đáp án D: $frac{5sqrt{5}}{1+sqrt{5}}$. Có thể đề bài có sai sót hoặc đáp án. Tuy nhiên, nếu ta quy đồng đáp án D: $frac{5sqrt{5}}{1+sqrt{5}} = frac{5sqrt{5}(sqrt{5}-1)}{(1+sqrt{5})(sqrt{5}-1)} = frac{25-5sqrt{5}}{5-1} = frac{25-5sqrt{5}}{4}$.
- Giá trị tính được: $frac{25+5sqrt{5}}{4}$. Đáp án D dường như sai. Tuy nhiên, nếu đề bài có nhầm lẫn và $u_1 = 5sqrt{5}$, $q=1/sqrt{5}$, thì $S = frac{5sqrt{5}}{1-1/sqrt{5}} = frac{5sqrt{5} sqrt{5}}{sqrt{5}-1} = frac{25}{sqrt{5}-1}$.
- Xem xét lại: $u_1=5, q = 1/sqrt{5}$. $S = frac{5}{1 – 1/sqrt{5}} = frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}-1}$.
- Nếu đáp án D là $frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}+1}$, thì ta trục căn thức: $frac{5sqrt{5}(sqrt{5}-1)}{(sqrt{5}+1)(sqrt{5}-1)} = frac{25-5sqrt{5}}{4}$.
- Có khả năng đề bài hoặc đáp án bị sai sót. Tuy nhiên, nếu giả sử đề bài cho $u_1=5$, $q=frac{sqrt{5}-1}{sqrt{5}}$, thì $S = frac{5}{1-frac{sqrt{5}-1}{sqrt{5}}} = frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}-(sqrt{5}-1)} = frac{5sqrt{5}}{1} = 5sqrt{5}$.
- Dựa vào đáp án D $frac{5sqrt{5}}{1+sqrt{5}}$, nếu ta thử $u_1 = 5sqrt{5}$ và $q = frac{1}{sqrt{5}}$, thì $S = frac{5sqrt{5}}{1-1/sqrt{5}} = frac{5sqrt{5} cdot sqrt{5}}{sqrt{5}-1} = frac{25}{sqrt{5}-1}$.
- Nếu $u_1=5$, $q = frac{-1}{sqrt{5}}$. $S = frac{5}{1-(-1/sqrt{5})} = frac{5}{1+1/sqrt{5}} = frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}+1}$. Đây là biểu thức trong đáp án D. Vậy công bội phải là $q = -1/sqrt{5}$.
- Tuy nhiên, dãy số đã cho là $5, sqrt{5}, 1, frac{1}{sqrt{5}}$, với $q=1/sqrt{5}$. Do đó, có sai sót trong câu hỏi hoặc đáp án. Nếu theo dãy số đã cho, kết quả tính là $frac{5sqrt{5}}{sqrt{5}-1}$. Nếu theo đáp án D thì $q=-1/sqrt{5}$.
- Chọn đáp án D dựa trên việc có thể đề bài có ý $q = -1/sqrt{5}$.
Câu 17: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $-3, 0.3, -0.03, 0.003, dots$
- Phân tích: $u_1 = -3$, $q = frac{0.3}{-3} = -0.1 = -frac{1}{10}$.
- Tính tổng: $S = frac{-3}{1 – (-frac{1}{10})} = frac{-3}{1 + frac{1}{10}} = frac{-3}{frac{11}{10}} = -frac{30}{11}$.
- $-frac{30}{11} = -2 frac{8}{11}$.
- Đáp án: A. $-2frac{8}{11}$
Câu 18: Tính: $S = 2 – sqrt{2} + 1 – frac{1}{sqrt{2}} + dots$
- Phân tích: $u_1 = 2$, $q = frac{-sqrt{2}}{2} = -frac{1}{sqrt{2}}$.
- Tính tổng: $S = frac{2}{1 – (-frac{1}{sqrt{2}})} = frac{2}{1 + frac{1}{sqrt{2}}} = frac{2}{frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}}} = frac{2sqrt{2}}{sqrt{2}+1}$.
- Trục căn thức ở mẫu: $S = frac{2sqrt{2}(sqrt{2}-1)}{(sqrt{2}+1)(sqrt{2}-1)} = frac{2sqrt{2}(sqrt{2}-1)}{2-1} = 2sqrt{2}(sqrt{2}-1) = 4 – 2sqrt{2}$.
- Đáp án: B. $4-2sqrt{2}$
Câu 19: Tìm $q$ của cấp số nhân lùi vô hạn: $frac{1}{4}, frac{1}{16}, frac{1}{64}, dots, frac{1}{4^n}, dots$
- Phân tích: $u_1 = frac{1}{4}$.
- Công bội $q = frac{u_2}{u_1} = frac{1/16}{1/4} = frac{1}{16} cdot 4 = frac{1}{4}$.
- Đáp án: A. $frac{1}{4}$
Câu 20: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Tìm số hạng đầu tiên.
- Gọi cấp số nhân là $u_1, u_1q, u_1q^2, dots$
- Tổng các số hạng: $S = frac{u_1}{1-q} = 56$ (1)
- Các số hạng bình phương: $u_1^2, u_1^2q^2, u_1^2q^4, dots$. Đây cũng là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1^2$ và công bội $q^2$.
- Tổng bình phương các số hạng: $S’ = frac{u_1^2}{1-q^2} = 448$ (2)
- Từ (1), $u_1 = 56(1-q)$.
- Thay vào (2): $frac{(56(1-q))^2}{1-q^2} = 448$
$frac{56^2 (1-q)^2}{(1-q)(1+q)} = 448$
$frac{56^2 (1-q)}{1+q} = 448$
$3136 frac{1-q}{1+q} = 448$
$frac{1-q}{1+q} = frac{448}{3136} = frac{1}{7}$
$7(1-q) = 1+q$
$7-7q = 1+q$
$6 = 8q Rightarrow q = frac{6}{8} = frac{3}{4}$. - Thay $q = frac{3}{4}$ vào (1): $u_1 = 56(1-frac{3}{4}) = 56(frac{1}{4}) = 14$.
- Vậy số hạng đầu tiên là 14.
- Đáp án: B. 14
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, các em học sinh sẽ nắm vững hơn về cấp số nhân lùi vô hạn, từ đó tự tin ôn luyện và đạt kết quả cao trong học tập.
